L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3770

Pour $P,Q \in \R_n[X]$ on pose $(P\mid Q) = \int_{t=-1}^1 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t$ et $\Phi(P) = (X^2-1)P'' + (2X+1)P'$ .

Vérifier que $(P\mid Q)$ existe et qu’on définit ainsi un produit scalaire sur $\R_n[X]$ .

Montrer que pour ce produit scalaire, $\Phi$ est auto-adjoint $\Bigl($ calculer $\int_{t=-1}^1 (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,d t$ par parties $\Bigr)$ .

Déterminer les valeurs propres de $\Phi$ et montrer qu’il existe une base propre de degrés étagés.