$f$ est bien linéaire... Soit $P$ tel que $f(P)=0$ . Alors $P$ vérifie l’équation différentielle $P+(1-X)P'=0.$ Dont la solution est $P = \lambda(X-1)$ , $\lambda \in \Rr$ . Donc $\ker f$ est de dimension $1$ et une base est donnée par un seul vecteur : $X-1$ . Par le théorème du rang la dimension de l’image est : $\dim \Im f = \dim \Rr_n[X]-\dim \ker f = (n+1) - 1 = n.$ Il faut donc trouver $n$ vecteurs linéairement indépendants dans $\Im f$ . Évaluons $f(X^k)$ , alors $f(X^k) = (1-k)X^k+kX^{k-1}.$ Cela donne $f(1)=1, f(X)=1, f(X^2)=-X^2+2X,...$ on remarque que pour $k= 2,\ldots n$ , $f(X^k)$ est de degré $k$ sans terme constant. Donc l’ensemble $\big\{ f(X), f(X^2), \ldots, f(X^n)\big\}$ est une famille de $n$ vecteurs, appartenant à $\Im f$ , et libre (car les degrés sont distincts). Donc ils forment une base de $\Im f$ .

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