\(f\) est bien linéaire... Soit \(P\) tel que \(f(P)=0\). Alors \(P\) vérifie l’équation différentielle \[P+(1-X)P'=0.\] Dont la solution est \(P = \lambda(X-1)\), \(\lambda \in \Rr\). Donc \(\ker f\) est de dimension \(1\) et une base est donnée par un seul vecteur : \(X-1\). Par le théorème du rang la dimension de l’image est : \[\dim \Im f = \dim \Rr_n[X]-\dim \ker f = (n+1) - 1 = n.\] Il faut donc trouver \(n\) vecteurs linéairement indépendants dans \(\Im f\). Évaluons \(f(X^k)\), alors \[f(X^k) = (1-k)X^k+kX^{k-1}.\] Cela donne \(f(1)=1, f(X)=1, f(X^2)=-X^2+2X,...\) on remarque que pour \(k= 2,\ldots n\), \(f(X^k)\) est de degré \(k\) sans terme constant. Donc l’ensemble \[\big\{ f(X), f(X^2), \ldots, f(X^n)\big\}\] est une famille de \(n\) vecteurs, appartenant à \(\Im f\), et libre (car les degrés sont distincts). Donc ils forment une base de \(\Im f\).

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