\(G\) est engendré par deux vecteurs donc \(\dim G \leq 2\). Clairement \(v_4\) et \(v_5\) ne sont pas liés donc \(\dim G \geq 2\) c’est-à-dire \(\dim G=2\). \(F\) est engendré par trois vecteurs donc \(\dim F \leq 3\). Un calcul montre que la famille \(\{ v_1, v_2, v_3 \}\) est libre, d’où \(\dim F\geq 3\) et donc \(\dim F= 3\). Essayons d’abord d’estimer la dimension de \(F\cap G\). D’une part \(F\cap G \subset G\) donc \(\dim(F\cap G)\leq 2\). Utilisons d’autre part la formule \(\dim(F+G) =\dim F + \dim G - \dim(F\cap G)\). Comme \(F+G\subset {\R}^4\), on a \(\dim(F+G)\leq 4\) d’où on tire l’inégalité \(\dim(F\cap G) \ge 1\). Donc soit \(\dim(F\cap G)=1\) ou bien \(\dim(F\cap G)=2\).

Supposons que \(\dim(F\cap G)\) soit égale à \(2\). Comme \(F\cap G \subset G\) on aurait dans ce cas \(F\cap G = G\) et donc \(G\subset F\). En particulier il existerait \(\alpha , \beta , \gamma \in {\R}\) tels que \(v_4=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3\). On vérifie aisément que ce n’est pas le cas, ainsi \(\dim (F\cap G)\) n’est pas égale à \(2\). On peut donc conclure \(\dim(F\cap G)=1\) Par la formule \(\dim (F+G) = \dim F + \dim G - \dim (F\cap G)\), on obtient \(\dim (F+G) = 2+3-1=4\). Cela entraîne \(F+G=\Rr^4\).

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