$G$ est engendré par deux vecteurs donc $\dim G \leq 2$ . Clairement $v_4$ et $v_5$ ne sont pas liés donc $\dim G \geq 2$ c’est-à-dire $\dim G=2$ . $F$ est engendré par trois vecteurs donc $\dim F \leq 3$ . Un calcul montre que la famille $\{ v_1, v_2, v_3 \}$ est libre, d’où $\dim F\geq 3$ et donc $\dim F= 3$ . Essayons d’abord d’estimer la dimension de $F\cap G$ . D’une part $F\cap G \subset G$ donc $\dim(F\cap G)\leq 2$ . Utilisons d’autre part la formule $\dim(F+G) =\dim F + \dim G - \dim(F\cap G)$ . Comme $F+G\subset {\R}^4$ , on a $\dim(F+G)\leq 4$ d’où on tire l’inégalité $\dim(F\cap G) \ge 1$ . Donc soit $\dim(F\cap G)=1$ ou bien $\dim(F\cap G)=2$ .

Supposons que $\dim(F\cap G)$ soit égale à $2$ . Comme $F\cap G \subset G$ on aurait dans ce cas $F\cap G = G$ et donc $G\subset F$ . En particulier il existerait $\alpha , \beta , \gamma \in {\R}$ tels que $v_4=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$ . On vérifie aisément que ce n’est pas le cas, ainsi $\dim (F\cap G)$ n’est pas égale à $2$ . On peut donc conclure $\dim(F\cap G)=1$ Par la formule $\dim (F+G) = \dim F + \dim G - \dim (F\cap G)$ , on obtient $\dim (F+G) = 2+3-1=4$ . Cela entraîne $F+G=\Rr^4$ .

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