Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et \(C^+\) le demi-cône où \(z \geq 0\). Pour un point quelconque \(M_0\) de \(C\setminus \{(0,0,0)\}\), de coordonnées \((x_0,y_0,\pm \sqrt{x_0^2+y_0^2})\), on note \({\cal P}_{M_0}\) le plan tangent au cône \(C\) en \(M_0\).
Déterminer un vecteur normal et l’équation du plan \({\cal P}_{M_0}\).
Montrer que l’intersection du cône \(C\) avec le plan vertical d’équation \({y=ax}\) où \(a\in \R\) est constituée de deux droites \({\cal D}_1\) et \({\cal D}_2\) et que l’intersection du demi-cône \(C^+\) avec ce plan vertical est constituée de deux demi-droites \({\cal D}^+_1\) et \({\cal D}^+_2\).
Montrer que le plan tangent au cône \(C\) est le même en tout point de \({\cal D}_1\setminus \{(0,0,0)\}\) (respectivement en tout point de \({\cal D}_2\setminus \{(0,0,0)\}\)).