L3 Algèbre et géométrie Géométrie projective 4 questions

exo7 6426

Rappelons qu’un cercle généralisé est soit un cercle euclidien Σ(zo,r)={z∈C ∣ ∣z−z0∣=r}\Sigma(z_o,r)=\{z\in \C\ \vert\ \vert z-z_0\vert=r\} soit une droite à laquelle on ajoute le point {∞}\{\infty\} (à l’aide la projection stéréographique). On note M={az+bcz+d ∣ a,b,c,d∈C, ad−bc≠0}.M=\{\frac{az+b}{cz+d}\ \vert\ a, b, c, d\in\C,\ ad-bc\not=0\}.

1

Montrer que le groupe PGL2CPGL_2\C agit trois fois transitivement sur C‾.\overline{\Cc}.

2

Vérifier que chaque cercle généralisé dans C‾\overline{\Cc} s’écrit sous la forme : A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0, B2+C2>4ADA(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0,\ B^2+C^2 > 4 A D

3

Soit C1∈CC_1\in \C un cercle généralisé, alors montrer que un sous-espace C2⊂CC_2\subset \C est un cercle généralisé ssi il existe γ∈M\gamma\in M telle que γ(C1)=C2.\gamma(C_1)=C_2.

4

Soit K⊂CK\subset \C un cercle généralisé et f∈M(2)f\in M(2) tel que f∣K≡idK\displaystyle f\vert_K\equiv {\rm id_K} alors montrer que soit f≡idf\equiv {\rm id} soit ff est la réflexion par rapport à K.K.

Exercice Y6gq

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