Rappelons qu’un cercle généralisé est soit un cercle euclidien \(\Sigma(z_o,r)=\{z\in \C\ \vert\ \vert z-z_0\vert=r\}\) soit une droite à laquelle on ajoute le point \(\{\infty\}\) (à l’aide la projection stéréographique). On note \(M=\{\frac{az+b}{cz+d}\ \vert\ a, b, c, d\in\C,\ ad-bc\not=0\}.\)
Montrer que le groupe \(PGL_2\C\) agit trois fois transitivement sur \(\overline{\Cc}.\)
Vérifier que chaque cercle généralisé dans \(\overline{\Cc}\) s’écrit sous la forme : \[A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0,\ B^2+C^2 > 4 A D\]
Soit \(C_1\in \C\) un cercle généralisé, alors montrer que un sous-espace \(C_2\subset \C\) est un cercle généralisé ssi il existe \(\gamma\in M\) telle que \(\gamma(C_1)=C_2.\)
Soit \(K\subset \C\) un cercle généralisé et \(f\in M(2)\) tel que \(\displaystyle f\vert_K\equiv {\rm id_K}\) alors montrer que soit \(f\equiv {\rm id}\) soit \(f\) est la réflexion par rapport à \(K.\)