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Montrer que le groupe projectif $PGL(L)$ agit transitivement sur l’ensemble de sous-espaces projectifs de la dimension $k$ fixée.

Montrer que $PGL(L)$ agit transitivement sur l’ensemble de couples ordonnés

$\{(P_1, P_2)\ \vert\ {\rm dim} P_1= k_1, \ {\rm dim} P_2= k_2,\ {\rm dim} (P_1\cap P_2) = k_3\},$ où $k_1, k_2, k_3$ sont fixés.

Montrer que $PGL(L)$ agit transitivement sur l’ensemble des drapeaux projectifs

${\cal D}=\{ (P_1,...,P_k)\ \vert P_1\subset ... \subset P_k, \}$ où la longueur $k$ est fixée et $P_i$ est un sous-espace projectif de $P(L)$ de dimension $i$ fixée $(i=1,...,k).$