Repère de $(D)$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+2=-2z\\ y=3x+z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-2-2z\\ y=3(-2-2z)+z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-2-2z\\ y=-6-5z \end{array} \right.$

$(D)$ est la droite passant par $A(0,-1,-1)$ et dirigée par $u(2,5,-1)$ . Repère de $(D')$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ 2x+y-z=a \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -x-y=z-1\\ 2x+y=z+a \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=2z+a-1\\ y=2-a-3z \end{array} \right.$

$(D')$ est la droite passant par $A'(a-1,2-a,0)$ et dirigée par $u'(2,-3,1)$ . Déjà $u$ et $u'$ ne sont pas colinéaires et donc $(D)$ et $(D')$ sont ou bien sécantes en un point et dans ce cas coplanaires ou bien non coplanaires. Le plan $(P)$ contenant $(D)$ et parallèle à $(D')$ est le plan de repère $(A,u,u')$ . Déterminons une équation de ce plan.

$M(x,y,z)\in(P)\Leftrightarrow \left| \begin{array}{ccc} x&2&2\\ y+1&5&-3\\ z+1&-1&1 \end{array}\right|=0\Leftrightarrow 2x-4(y+1)-16(z+1)=0\Leftrightarrow-x+2y+8z=-10$ .

Enfin, $(D)$ et $(D')$ sont coplanaires si et seulement si $(D')$ est contenue dans $(P)$ . Comme $(D')$ est déjà parallèle à $(P)$ , on a

$(D)$ et $(D')$ coplanaires $\Leftrightarrow A'\in(P)\Leftrightarrow-(a-1)+2(2-a)=-10\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}$ .

(D)

et

(D')

sont coplanaires si et seulement si

a=\frac{5}{3}

et dans ce cas, une équation du plan contenant

(D)

et

(D')

est

-x+2y+8z=-10

.

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