Repère de \((D)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+2=-2z\\ y=3x+z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-2-2z\\ y=3(-2-2z)+z \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-2-2z\\ y=-6-5z \end{array} \right.\)

\((D)\) est la droite passant par \(A(0,-1,-1)\) et dirigée par \(u(2,5,-1)\). Repère de \((D')\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ 2x+y-z=a \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -x-y=z-1\\ 2x+y=z+a \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=2z+a-1\\ y=2-a-3z \end{array} \right.\)

\((D')\) est la droite passant par \(A'(a-1,2-a,0)\) et dirigée par \(u'(2,-3,1)\). Déjà \(u\) et \(u'\) ne sont pas colinéaires et donc \((D)\) et \((D')\) sont ou bien sécantes en un point et dans ce cas coplanaires ou bien non coplanaires. Le plan \((P)\) contenant \((D)\) et parallèle à \((D')\) est le plan de repère \((A,u,u')\). Déterminons une équation de ce plan.

\(M(x,y,z)\in(P)\Leftrightarrow \left| \begin{array}{ccc} x&2&2\\ y+1&5&-3\\ z+1&-1&1 \end{array}\right|=0\Leftrightarrow 2x-4(y+1)-16(z+1)=0\Leftrightarrow-x+2y+8z=-10\).

Enfin, \((D)\) et \((D')\) sont coplanaires si et seulement si \((D')\) est contenue dans \((P)\). Comme \((D')\) est déjà parallèle à \((P)\), on a

\((D)\) et \((D')\) coplanaires \(\Leftrightarrow A'\in(P)\Leftrightarrow-(a-1)+2(2-a)=-10\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}\).

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