Soient \(E_{0},E_{1},...,E_{n}\) \(n+1\) espaces vectoriels sur un même corps commutatif \({K}\), de dimensions respectives \(\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}.\) On suppose qu’il existe \(n\) applications linéaires \(f_{0},f_{1},...,f_{n-1}\) telles que : \[\forall k\in \{0,...,n-1\},f_{k}\in L(E_{k},E_{k+1}).\] et de plus :
\(f_{0}\) est injective;
\(\forall j\in \{1,...,n-1\},\mathrm{Im} f_{j-1}=Ker(f_{j});\)
\(f_{n-1}\) est surjective.
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Montrer que \[\sum\limits_{j=0}^{n}(-1)^{j}\alpha _{j}=0.\]