Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et \(f\in \mathcal{L}(E)\) nilpotente d’indice \(n\).
Soit \(\phi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}, g \mapsto{f\circ g - g\circ f.}\)
1
Montrer que \(\phi^p(g) = \sum_{k=0}^p (-1)^kC_p^k f^{p-k}\circ g \circ f^k\). En déduire que \(\phi\) est nilpotente.
2
Soit \(a\in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe \(b\in \mathcal{L}(E)\) tel que \(a\circ b \circ a = a\). En déduire l’indice de nilpotence de \(\phi\).