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Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et $f\in \mathcal{L}(E)$ nilpotente d’indice $n$ .

Soit $\phi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}, g \mapsto{f\circ g - g\circ f.}$

Montrer que $\phi^p(g) = \sum_{k=0}^p (-1)^kC_p^k f^{p-k}\circ g \circ f^k$ . En déduire que $\phi$ est nilpotente.

Soit $a\in \mathcal{L}(E)$ . Montrer qu’il existe $b\in \mathcal{L}(E)$ tel que $a\circ b \circ a = a$ . En déduire l’indice de nilpotence de $\phi$ .

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