1
Déterminer l’ordre de \(\overline{2}\) dans \((\Z/10\Z,+)\).
2
Montrer que \(\{\overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9}\}\) est un sous-groupe de \((\Z/12\Z,+)\).
3
Expliciter un sous-groupe d’ordre \(6\) de \((\Z/12\Z,+)\).
4
Quels sont les ordres possibles des sous-groupes de \((\Z/6\Z,+)\) ?
5
Soient \(n\) un entier naturel non nul. Le but de cette question est de déterminer tous les sous-groupes de \(\Z/n\Z\). Soit \(d\) un diviseur de \(n\).
6
Expliciter un sous-groupe \(G_{d}\) de \(\Z/n\Z\) d’ordre \(d\).
7
Soit \(H\) un sous-groupe de \(\Z/n\Z\) d’ordre \(d\). Montrer que pour tout \(\overline x\in H\), \(d\cdot \overline x=0.\) Combien d’éléments de \(\Z/n\Z\) vérifient cette équation ? En déduire que \(H=G_{d}\).
8
Conclure.