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Déterminer l’ordre de $\overline{2}$ dans $(\Z/10\Z,+)$.

Montrer que $\{\overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9}\}$ est un sous-groupe de $(\Z/12\Z,+)$.

Expliciter un sous-groupe d’ordre $6$ de $(\Z/12\Z,+)$.

Quels sont les ordres possibles des sous-groupes de $(\Z/6\Z,+)$ ?

Soient $n$ un entier naturel non nul. Le but de cette question est de déterminer tous les sous-groupes de $\Z/n\Z$. Soit $d$ un diviseur de $n$.

Expliciter un sous-groupe $G_{d}$ de $\Z/n\Z$ d’ordre $d$.

Soit $H$ un sous-groupe de $\Z/n\Z$ d’ordre $d$. Montrer que pour tout $\overline x\in H$, $d\cdot \overline x=0.$ Combien d’éléments de $\Z/n\Z$ vérifient cette équation ? En déduire que $H=G_{d}$.

Conclure.