On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\).
1
Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\Cc.\) On désigne par \(\mathcal{U}(A)\) le groupe des éléments inversibles de \(A\) et enfin, on pose, pour tout \(z\in\Cc,\) \(N(z)={|z|}^2.\)
2
Montrer que si \(z\in A\) alors \(N(z)\in\Zz.\)
3
Soit \(z\in A.\) Montrer que \(z\in \mathcal{U}(A)\) si et seulement si \(N(z)=1.\)
4
Soient \(a\) et \(b\) des entiers. Montrer que si \(N(a+jb)=1\) alors \(a,b\in\left\{-1,0,1\right\}.\)