Soit \(A\) un anneau commutatif et \((I_n)\) une suite croissante d’idéaux de \(A\). On pose \(I = \bigcup_{n \in \N} I_n\).
1
Montrer que \(I\) est un idéal de \(A\).
2
On suppose que \(A\) est principal. Montrer qu’il existe \(n_0 \in \N\) tel que \(I = I_{n_0}\).
3
En déduire que \(\R^\R\) n’est pas principal.