On rappelle que \(\mathbb{F}_5\) désigne le corps \(\Z/5\Z\) à cinq éléments.
1
Montrer que l’anneau quotient \(\mathbb{F}_{25}:=\mathbb{F}_5[X]/(X^2+2X+1)\) est un corps. Combien a-t-il d’éléments ?
2
Si \(a\) est un élément non nul de \(\mathbb{F}_{25}\), que valent \(5a\), \(a^2+2a+1\) et \(a^{24}\) ?
3
Soit \(x\) un élément de \(\mathbb{F}_{25}\) tel que \(x^2+3x+3=0\). Quel est l’ordre multiplicatif de \(x\) ?