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Pour $x \in {[0,1[}$ , on note $x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}$ le développement décimal propre de $x$ .

Soit $f : {[0,1[} \to {[0,1[}$ définie par : $f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_{k+1}}{10^k}$ . Montrer que $f$ est continue par morceaux.

Soit $g : {[0,1[} \to {[0,1[}$ définie par : $g(x) = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{x_{2k}}{10^{2k-1}} + \frac{x_{2k-1}}{10^{2k}} \right)$ . Déterminer les points où $g$ est continue.