L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2I 3 questions

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Pour tout x,y∈Rx,y \in \R, on pose x⋆y=x1+y2+y1+x2x \star y = x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}.

1

Vérifier que 1+(x⋆y)2=1+x21+y2+xy\sqrt{1+(x\star y)^2} = \sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2} + xy.

2

Montrer que (R,⋆)(\R, \star) est un groupe.

3

Montrer que l’application sh⁡\sh est un isomorphisme entre (R,+)(\R,+) et (R,⋆)(\R, \star).

Exercice ZdjP

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