I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre
\(\mathcal{Z}(G)\) de \(G\) par :
\[\mathcal{Z}(G) = \big\{ x \in G\ /\ \forall a \in G \ \ ax=xa \big\}.\]
Montrer que \(\mathcal{Z}(G)\) est un sous-groupe de \(G\).
Que peut-on dire de \(\mathcal{Z}(G)\) si \(G\) est abélien ?
II
On désigne par \(\mathcal{A}_n\) le groupe alterné d’ordre \(n\)
(rappel : c’est le sous-groupe de
\((\mathcal{S}_n,\circ)\) formé des permutations
de \(E_n = \{1,2,\ldots,n\}\)
de signature \(+1\).)
On se propose de déterminer le centre de \(\mathcal{A}_n\) pour \(n\geq 3\).
Donner la liste des éléments de \(\mathcal{A}_3\) et de \(\mathcal{Z}(\mathcal{A}_3)\).
On suppose désormais \(n\geq 4\). Dans cette question on fixe \(i,j,k\) trois éléments distincts de \(E_n\).
Vérifier que le \(3\)-cycle \((i,j,k)\) est dans \(\mathcal{A}_n\).
Soit \(s\in \mathcal{S}_n\), montrer que \(s\circ(i,j,k) = (s(i),s(j),s(k)) \circ s\).
En déduire que si \(s \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}_n)\) alors l’image de \(\{i,j,k\}\) par \(s\) est \(\{i,j,k\}\).