exo7 1414

I
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On définit le centre $\mathcal{Z}(G)$ de $G$ par : $$\mathcal{Z}(G) = \big\{ x \in G\ /\ \forall a \in G \ \ ax=xa \big\}.$$

Montrer que $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe de $G$.

Que peut-on dire de $\mathcal{Z}(G)$ si $G$ est abélien ?

II
On désigne par $\mathcal{A}_n$ le groupe alterné d’ordre $n$ (rappel : c’est le sous-groupe de $(\mathcal{S}_n,\circ)$ formé des permutations de $E_n = \{1,2,\ldots,n\}$ de signature $+1$.)

On se propose de déterminer le centre de $\mathcal{A}_n$ pour $n\geq 3$.