exo7 4768

Soit $E$ l’ensemble des fonctions $\R \to \R$ lipschitziennes. Pour $f \in E$, on pose : $$\begin{aligned} \|f\| &= |f(0)| + \sup\left( \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \text{ tq } x\ne y \right), \\ N(f) &= |f(0)| + \sup\left( \left|\frac{f(x)-f(0)}{x}\right| \text{ tq } x\ne 0 \right). \end{aligned}$$