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Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoint tel que $\mathrm{tr}(u) = 0$ .

Montrer qu’il existe un vecteur $\vec x$ non nul tel que $u(\vec x) \perp \vec x$ .

En déduire qu’il existe une base orthonormée $(\vec e_i)$ telle que : $\forall\ i,\ (u(\vec e_i) \mid \vec e_i) = 0$ .