On trouve en utilisant la relation $\vec{NP'}\parallel\vec{NP}$ que la projection stéréographique depuis le pôle nord sur le plan équatoriale est donnée par $\begin{array}{ccc} p : S^2&\to&\Rr^2\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}\frac{x}{1-z}\\ \frac{y}{1-z}\\0\end{pmatrix} \end{array}$

et la réciproque $\begin{array}{ccc} F : \Rr^2&\to&S^2\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} \frac{2x'}{(x')^2+(y')^2+1}\\ \frac{2y'}{(x')^2+(y')^2+1}\\1-\frac{2}{(x')^2+(y')^2+1}\end{pmatrix} \end{array}$ En particulier, la différentielle du paramétrage $F$ au point de paramètres $(0,0)$ est $\begin{array}{cccc} dF(0,0) : &T_{(0,0)}\Rr^2&\to&S_S^2\\ &\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} 2X'\\ 2Y'\\0\end{pmatrix} \end{array}$ n’est ni une isométrie, ni de déterminant $+/-1$ . La projection stéréographique ne conserve donc ni les longueurs, ni les aires. Par contre, la différentielle du paramétrage $F$ au point de paramètres $(x',y')$ est $\begin{array}{cccc} dF(x',y') :& T_{(x',y')}\Rr^2&\to&TS^2\\ & \begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} 2\frac{-(x')^2+(y')^2+1}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'-4\frac{x'y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y' \\ -4\frac{x'y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'+ 2\frac{(x')^2-(y')^2+1}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y'\\ 4\frac{x'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'+4\frac{y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y'\end{pmatrix} \end{array}$ On vérifie alors que $\left\| dF(x',y')\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}\right\|^2=\frac{4\left\|\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}\right\|^2}{(x')^2+(y')^2+1}.$ Donc, $dF(x',y')$ conserve les angles.

exo7 7713