Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par \(\overline B = \{x\in E \mid \Vert x\Vert \le1\}\) la boule fermée de centre \(0\) et de rayon \(1\).
Soit \(F\subset E\) un sous-espace vectoriel fermé de \(E\). Pour \(x\in E\) on pose : \[d(x,F) = \inf_{y\in F} \Vert\, x-y\,\Vert \equiv \inf \{\, \Vert\, x-y\, \Vert \mid y\in F\,\} \ .\]
1
Montrer que pour tout \(x\in E\) on a \(0\le d(x,F) \le \Vert x\Vert\).
2
Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes.
3
\(d(x,F) = 0\);
4
\(x\in F\).