Les fonctions $x\mapsto\frac{1}{x\ln x}$ et $x\mapsto\frac{1}{\ln x}$ sont continues sur $I$ et on sait que les solutions de $(E)$ sur $I$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;x\ln xf'(x)+f(x)=x\Leftrightarrow\forall x\in I,\;\ln xf'(x)+\frac{1}{x}f(x)=1\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(\ln x.f)'(x)=1\Leftrightarrow\exists \lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\frac{x+\lambda}{\ln x} \end{align*}$ Les fonctions $x\mapsto\frac{1}{x}$ et $x\mapsto1+\frac{1}{x^2}$ sont continues sur $I$ et on sait que les solutions de $(E)$ sur $I$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;x(xf'(x)+f(x)-x)=1 \Leftrightarrow\forall x\in I,\;(xf)'(x)=x+\frac{1}{x}\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\; xf(x)=\frac{x^2}{2}+\ln(-x)+\lambda\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\frac{x}{2}+\frac{\ln (-x)+\lambda}{x}. \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\frac{x}{2}+\frac{\ln(-x)+\lambda}{x}$ , $\lambda\in\Rr$ . Les fonctions $x\mapsto\frac{1}{2x}$ et $x\mapsto\frac{x^3}{2}$ sont continues sur $I=]-\infty,0[$ et on saitque les solutions de $(E)$ sur $I$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;f'(x)+\frac{1}{2x}f(x)=\frac{x^3}{2}\\ &\forall x\in I,\;e^{\ln|x|/2}f'(x)+\frac{1}{2x}e^{\ln|x|/2}f(x)=\frac{x^3}{2}e^{\ln|x|/2}\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(\sqrt{-x}f)'(x)=-\frac{1}{2}(-x)^{7/2}\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;\sqrt{-x}f(x)=\frac{1}{9}(-x)^{9/2}+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\frac{1}{9}x^4+\frac{\lambda}{\sqrt{-x}} \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\frac{x^4}{9}+\frac{\lambda}{\sqrt{-x}}$ , $\lambda\in\Rr$ . Les fonctions $x\mapsto2$ et $x\mapsto x^2-3x$ sont continues sur $\Rr$ et on sait que les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\Rr$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;\Rr&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;f'(x)+2f(x)=x^2-3x\\ &\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;e^{2x}f'(x)+2e^{2x}f(x)=(x^2-3x)e^{2x}\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;(e^{2x}f)'(x)=(x^2-3x)e^{2x} \end{align*}$

Recherche d’une primitive sur ${\Rr}$ de la fonction $x\mapsto(x^2-3x)e^{2x}$ .

1ère méthode. Deux intégrations par parties fournissent :

$\begin{align*}\ensuremath \int_{}^{}(x^2-3x)e^{2x}\;dx&=\frac{1}{2}(x^2-3x)e^{2x}-\frac{1}{2}\int_{}^{}(2x-3)e^{2x}\;dx\\ &=\frac{1}{2}(x^2-3x)e^{2x}-\frac{1}{4}(2x-3)e^{2x}+\frac{1}{2}\int_{}^{}e^{2x}\;dx\\ &=\frac{1}{4}(2x^2-8x+3)e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C=\frac{1}{2}(x^2-4x+2)e^{2x}+C \end{align*}$
2ème méthode. Cherchons les primitives de $x\mapsto(x^2-3x)e^{2x}$ sous la forme $x\mapsto(ax^2+bx+c)e^{2x}$ .

$((ax^2+bx+c)e^{2x})'=(2(ax^2+bx+c)+(2ax+b))e^{2x}=(2ax^2+2(a+b)x+b+2c)e^{2x}.$

Donc,

$((ax^2+bx+c)e^{2x})'=(x^2-3x)e^{2x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a=1\\ 2(a+b)=-3\\ b+2c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=\frac{1}{2}\\ b=-2\\ c=1 \end{array} \right..$

Résolution de $\bf{(E)}$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;\Rr&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;(e^{2x}f)'(x)=(x^2-3x)e^{2x}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in\Rr,\;e^{2x}f(x)=(\frac{x^2}{2}-2x+1)e^{2x}+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in\Rr,\;f(x)=\frac{x^2}{2}-2x+1+\lambda e^{-2x}. \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\frac{x^2}{2}-2x+1+\lambda e^{-2x}$ , $\lambda\in\Rr$ . Les fonctions $x\mapsto1$ et $x\mapsto\frac{1}{1+2e^x}$ sont continues sur $\Rr$ et on sait que les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\Rr$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;\Rr&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;f'(x)+f(x)=\frac{1}{1+2e^x} \Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;e^xf'(x)+e^xf(x)=\frac{e^x}{1+2e^x}\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in\Rr,\;e^xf(x)=\frac{1}{2}\ln(1+2e^x)+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in\Rr,\;f(x)=(\frac{1}{2}\ln(1+2e^x)+\lambda)e^{-x} \end{align*}$

Les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto(\frac{1}{2}\ln(1+2e^x)+\lambda)e^{-x}$ , $\lambda\in\Rr$ . Les fonctions $x\mapsto-\frac{\cos x}{\sin x}$ et $x\mapsto-\frac{1}{\sin x}$ sont continues sur $I=]0,\pi[$ et on sait que les solutions de $(E)$ sur $\Rr$ sont de la forme $f_0+\lambda f_1$ où $f_0$ est une solution particulière de $(E)$ et $f_1$ est une solution particulière non nulle de $(E_H)$ .

Mais $x\mapsto\sin x$ est une solution non nulle de $(E_H)$ sur $I$ et $x\mapsto\cos x$ est une solution de $(E)$ sur $]0,\pi[$ .

Les solutions de $(E)$ sur $]0,\pi[$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\lambda\sin x+\cos x$ , $\lambda\in\Rr$ .

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