On suppose que \(n=\mbox{deg}P\geq1\).

On pose \(P=\lambda(X-z_1)(X-z_2)...(X-z_n)\) où \(\lambda\) est un complexe non nul et les \(z_k\) sont des complexes pas nécessairement deux à deux distincts.

D’après l’exercice précédent, \(\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-z_k}\).

Si \(P\) est divisible par \(P'\), \(\exists(a,b)\in\Cc^2\setminus\{(0,0)\}/\;P=(aX+b)P'\) et donc \(\exists(a,b)\in\Cc^2\setminus\{(0,0)\}/\;\frac{P'}{P}=\frac{1}{aX+b}\) ce qui montre que la fraction rationelle \(\frac{P'}{P}\) a exactement un et un seul pôle complexe et donc que les \(z_k\) sont confondus.

En résumé, si \(P'\) divise \(P\), \(\exists(a,\lambda)\in\Cc^2/\;P=\lambda(X-a)^n\) et \(\lambda\neq0\).

Réciproquement, si \(P=\lambda(X-a)^n\) avec \(\lambda\neq0\), alors \(P'=n\lambda(X-a)^{n-1}\) divise \(P\).

Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme \(\lambda(X-a)^n\), \(\lambda\in\Cc\setminus\{0\}\), \(n\in\Nn^*\), \(a\in\Cc\).

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