Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
\[\begin{cases} x + my + (m-1)z = m+1, \\ 3x + 2y + mz = 3, \\ (m-1)x + my + (m+1)z = m-1. \end{cases}\]
1
Écrire le système sous forme matricielle, c’est-à-dire : \[A\,\mathbf{X} = \mathbf{B},\] où \(A\) est la matrice des coefficients, \(\mathbf{X}\) le vecteur des inconnues, et \(\mathbf{B}\) le vecteur des constantes.
2
Calculer le déterminant de la matrice \(A\) et montrer que \(\det(A) = m^2(m-4).\)
3
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le système n’a pas de solution unique.
4
Le système a-t-il une solution pour \(m=4\)? Si oui, la déterminer.
5
Si \(m \neq 0\) et \(m \neq 4\), résoudre le système.