L2 Algèbre Déterminant, système linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 1154

Une matrice carrée A=(aij)i,j∈{1,…,n}∈Mn(R)A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr}) est dite triangulaire supérieure lorsque pour tout i>ji>j : aij=0.a_{ij}=0 .

1

Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

2

Démontrer que det(A)=a11⋯ann.\hbox{det}(A)=a_{11}\cdots a_{nn} .

3

Soit EE un espace vectoriel, ϵ={e1,…,en}\epsilon =\{ e_1 , \ldots, e_n\} une base de EE et φ∈L(E).\varphi \in \mathcal{L} (E) . On note EiE_i l’espace vectoriel engendré par {e1,…,ei}\{ e_1, \ldots, e_i\}, pour tout 1≤i≤n.1\leq i\leq n . Montrer que Mat(φ,ϵ)\hbox{Mat} (\varphi , \epsilon ) est triangulaire supérieure si et seulement si φ(Ei)⊂Ei\varphi (E_i )\subset E_i pour tout 1≤i≤n.1\leq i\leq n .

4

Démontrer que l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.

Exercice 2pLt

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