Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsque pour tout \(i>j\) : \(a_{ij}=0 .\)
Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Démontrer que \(\hbox{det}(A)=a_{11}\cdots a_{nn} .\)
Soit \(E\) un espace vectoriel, \(\epsilon =\{ e_1 , \ldots, e_n\}\) une base de \(E\) et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\) On note \(E_i\) l’espace vectoriel engendré par \(\{ e_1, \ldots, e_i\}\), pour tout \(1\leq i\leq n .\) Montrer que \(\hbox{Mat} (\varphi , \epsilon )\) est triangulaire supérieure si et seulement si \(\varphi (E_i )\subset E_i\) pour tout \(1\leq i\leq n .\)
Démontrer que l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.