L’enjeu de cet exercice est la factorisation du polynôme \(R(X)=X^9+X^6+X^3+1\).
1
Déterminer les coefficients du polynôme \(Q\) donné par \(Q(X)=(X-1)P(X)\) où \(P\) est le polynôme \(P\) défini par \(P(X)=X^3+X^2+X+1\)
2
Donner les racines complexes de \(Q\).
3
En déduire une factorisation du polynôme \(P\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).
4
Établir une égalité entre le polynôme \(P\) et \(R\).
5
Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles sur \(\mathbb{R}[X]\) de \(X^3+1\).
6
En déduire la décomposition en produit de facteurs irréductibles de \(R\) sur \(\mathbb{C}[X]\).