La suite $(u_n)$ est strictement croissante, en effet $u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . La suite $(v_n)$ est strictement décroissante : $v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-u_n + \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{n!}(\frac 2n-1).$ Donc à partir de $n\geq 2$ , la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. Comme $u_n \leq v_n \leq v_2$ , alors $(u_n)$ est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers $\ell \in \Rr$ . De même $v_n \geq u_n \geq u_0$ , donc $(v_n)$ est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers $\ell' \in \Rr$ . De plus $v_n -u_n = \frac1{n!}$ . Et donc $(v_n-u_n)$ tend vers $0$ ce qui prouve que $\ell=\ell'$ . Supposons que $\ell \in \Qq$ , nous écrivons alors $\ell = \frac pq$ avec $p,q \in \Nn$ . Nous obtenons pour $n\geq 2$ : $u_n \leq \frac pq \leq v_n.$ Ecrivons cette égalité pour $n=q$ : $u_q \leq \frac pq \leq v_q$ et multiplions par $q!$ : $q! u_q \leq q!\frac pq \leq q! v_q$ . Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plus $v_q = u_q +\frac 1{q!}$ donc: $q! u_q \leq q! \frac pq \leq q! u_q + 1.$ Donc l’entier $q! \frac pq$ est égal à l’entier $q! u_q$ ou à $q! u_q + 1 = q! v_q$ . Nous obtenons que $\ell = \frac pq$ est égal à $u_q$ ou à $v_q$ . Supposons par exemple que $\ell = u_q$ , comme la suite $(u_n)$ est strictement croissante alors $u_q < u_{q+1} < \cdots < \ell$ , ce qui aboutit à une contradiction. Le même raisonnement s’applique en supposant $\ell = v_q$ car la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montré que $\ell$ n’est pas un nombre rationnel.

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