On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Montrer que \(5\) est racine simple de \(Q\).
Déterminer \(S\) le polynôme de degré \(2\) vérifiant l’égalité suivante: \[Q(X)=(X-5)S(X).\] Le polynôme \(S\) est-il irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\)?
Déterminer les racines complexes de \(S\) et donner sa décomposition en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).
Dans cette question on se propose de déterminer la décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}(X)\) de \(\frac{1}{Q(X)},\) c’est-à-dire l’existence de 3 coefficients \(a,b,c\) réels tels que \[\frac{1}{Q(X)}=\frac{a}{X-5}+\frac{bX+c}{S(X)}.\]
- \question{Calculer $\lim_{X \to +\infty}\frac{X}{Q(X)}$ de deux façons différentes puis en déduire que $a+b=0$.} \indication{Première méthode : comportement asymptotique. Seconde méthode : utiliser la décomposition proposée.} \reponse{ Première méthode : $$\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{Q(X)} = \lim_{X \to +\infty} \frac{X}{X^3(1 + o(1))} = \lim_{X \to +\infty} \frac{1}{X^2} = 0$$} Seconde méthode : En multipliant la décomposition par $X$ : $$\frac{X}{Q(X)} = \frac{aX}{X-5} + \frac{(bX+c)X}{S(X)}$$ Quand $X \to +\infty$ : $$\frac{aX}{X-5} \sim \frac{aX}{X} = a \quad \text{et} \quad \frac{(bX+c)X}{S(X)} \sim \frac{bX^2}{X^2} = b$$ Donc $\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{Q(X)} = a + b$. Par unicité de la limite : $a + b = 0$.
Calculer \(\lim_{X \to +\infty}\frac{X}{Q(X)}\) de deux façons différentes puis en déduire que \(a+b=0\).
Calculer la limite quand \(X\) tend vers \(5\) de \(\frac{X-5}{Q(X)}\) de deux façons différentes. En déduire \(a\) puis \(b\).
En posant \(X=0\) déterminer \(c\) puis donner la décomposition en éléments simples de \(\frac{1}{Q(X)}\) sur \(\mathbb{R}(X)\).