Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de \(\mathcal{L}(E)\) tel que : \(\forall\ f \in {\cal I},\ \forall\ g \in \mathcal{L}(E),\ f\circ g \in {\cal I}\).
Soit \({\cal I}\) un idéal à gauche.
1
Montrer que si \(f \in {\cal I}\) et \(\Im g \subset \Im f\), alors \(g \in {\cal I}\).
2
Soient \(f_1, f_2 \in {\cal I}\). Montrer qu’il existe \(g_1, g_2 \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(\Im(f_1\circ g_1 + f_2\circ g_2) = \Im f_1 + \Im f_2\).
3
Soit \(f \in {\cal I}\) tel que rg(\(f\)) soit maximal. Montrer que \({\cal I} = \{g \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } \Im g \subset \Im f\} = \{ f\circ g \text{ tq } g \in \mathcal{L}(E) \}\).