On raisonne par l’absurde. On écrit \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), avec \(p\) et \(q\) deux entiers non nuls, premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction est irréductible). On a alors \(q\sqrt{2}=p\), soit \(2q^2=p^2\). \(p^2\) est pair, et donc \(p\) aussi d’après un résultat vu dans le cours. On peut alors écrire \(p=2k\), ce qui donne \[2q^2 = (2k)^2 \Leftrightarrow 2q^2 = 4k^2 \Leftrightarrow q^2=2k^2\] Ainsi, \(q^2\) est pair, et donc \(q\) aussi. Mais alors, \(p\) et \(q\) sont pairs, et donc ne sont pas premiers entre eux : c’est absurde.

On peut conclure que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Irrationalité de $\sqrt{2}$