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Que dire de $s^*\circ s$ ?

Un polynôme $P$ est dit réciproque si $P(X) = X^nP\Bigl(\frac1X\Bigr)$, pour $P$ de degré $n$.

Montrer que : $P(X) = \det(X\mathrm{id}+s^*\circ s)$ est un polynôme réciproque.

Montrer que $P(1)\ge 2^n$. A quelle condition y a-til égalité ? Y a-t-il des conditions sur $s$ ?

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}A_1&A_2\cr A_3&A_4\cr\end{pmatrix}$, carrée, d’ordre $n$, symétrique définie positive, où $A_1$ et $A_4$ sont carrées d’ordres respectifs $p$ et $q$. Montrer que $\det(A)\le \det(A_1)\det(A_4)$.