Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de \(E\).
1
Que dire de \(s^*\circ s\) ?
2
Un polynôme \(P\) est dit réciproque si \(P(X) = X^nP\Bigl(\frac1X\Bigr)\), pour \(P\) de degré \(n\).
Montrer que : \(P(X) = \det(X\mathrm{id}+s^*\circ s)\) est un polynôme réciproque.
3
Montrer que \(P(1)\ge 2^n\). A quelle condition y a-til égalité ? Y a-t-il des conditions sur \(s\) ?
4
Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}A_1&A_2\cr A_3&A_4\cr\end{pmatrix}\), carrée, d’ordre \(n\), symétrique définie positive, où \(A_1\) et \(A_4\) sont carrées d’ordres respectifs \(p\) et \(q\). Montrer que \(\det(A)\le \det(A_1)\det(A_4)\).