Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).
1
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(f : F \to E\) une application orthogonale. Démontrer qu’on peut prolonger \(f\) en une application orthogonale de \(E\) dans \(E\).
2
Soient \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\), \(\vec v_1,\dots,\vec v_n\) des vecteurs de \(E\) tels que : \(\forall\ i,j,\ (\vec u_i \mid \vec u_j) = (\vec v_i \mid \vec v_j)\).
3
Si \(\sum \lambda_i \vec u_i = \vec0\), démontrer que \(\sum \lambda_i \vec v_i = \vec0\).
4
En déduire qu’il existe \(f \in {\cal O}(E)\) telle que : \(\forall\ i,\ f(\vec u_i) = \vec v_i\).