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Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $f : F \to E$ une application orthogonale. Démontrer qu’on peut prolonger $f$ en une application orthogonale de $E$ dans $E$.

Soient $\vec u_1,\dots,\vec u_n$, $\vec v_1,\dots,\vec v_n$ des vecteurs de $E$ tels que : $\forall\ i,j,\ (\vec u_i \mid \vec u_j) = (\vec v_i \mid \vec v_j)$.

Si $\sum \lambda_i \vec u_i = \vec0$, démontrer que $\sum \lambda_i \vec v_i = \vec0$.

En déduire qu’il existe $f \in {\cal O}(E)$ telle que : $\forall\ i,\ f(\vec u_i) = \vec v_i$.