L1 Analyse Développement limité Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST 1 question

exo7 2657

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Calculer $\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.$ Donner un équivalent de $\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x - \ell$ lorsque $\begin{align*} \left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x & = \exp\left( x \ln \left( \frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right) \right) \\ & = \exp\left( x \ln \left(1 + \frac1{x\ln x} + o(\frac1{x\ln x})\right) \right) \\ & = \exp\left( x \left(\frac1{x\ln x} + o(\frac1{x\ln x})\right) \right) \\ & = \exp\left( \frac1{\ln x} + o(\frac1{\ln x})\right) \\ & = 1 + \frac1{\ln x} + o(\frac1{\ln x}) \\ \end{align*}$ .