\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\underset{x\rightarrow0}{=}1+\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+o(x^4)\), et donc

\[\Arcsin x\underset{x\rightarrow0}{=}x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5).\] Puis,

\[\frac{1}{\Arcsin x}\underset{x\rightarrow0}{=}\frac{1}{x}\left(1+\frac{x^2}{6}+\frac{3x^4}{40}+o(x^4)\right)^{-1}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{x^2}{6}-\frac{3x^4}{40}+\frac{x^4}{36}+o(x^4)\right)=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}-\frac{17x^3}{360}+o(x^3),\] et donc,

\[\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\underset{x\rightarrow0}{=}\frac{x}{6}+\frac{17x^3}{360}+o(x^3).\]

La fonction \(f\) proposée se prolonge donc par continuité en \(0\) en posant \(f(0)=0\). Le prolongement est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=\frac{1}{6}\). La courbe représentative de \(f\) admet à l’origine une tangente d’équation \(y=\frac{x}{6}\). Le signe de la différence \(f(x)-\frac{x}{6}\) est, au voisinage de \(0\), le signe de \(\frac{17x^3}{360}\). La courbe représentative de \(f\) admet donc à l’origine une tangente d’inflexion d’équation \(y=\frac{x}{6}\).

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