$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\underset{x\rightarrow0}{=}1+\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+o(x^4)$ , et donc

$\Arcsin x\underset{x\rightarrow0}{=}x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5).$ Puis,

$\begin{align*} \frac{1}{\Arcsin x}\underset{x\rightarrow0}{=}\frac{1}{x}\left(1+\frac{x^2}{6}+\frac{3x^4}{40}+o(x^4)\right)^{-1} &= \frac{1}{x}\left(1-\frac{x^2}{6}-\frac{3x^4}{40}+\frac{x^4}{36}+o(x^4)\right) \\ &= \frac{1}{x}-\frac{x}{6}-\frac{17x^3}{360}+o(x^3), \end{align*}$ et donc,

$\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\underset{x\rightarrow0}{=}\frac{x}{6}+\frac{17x^3}{360}+o(x^3).$

La fonction $f$ proposée se prolonge donc par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$ . Le prolongement est dérivable en $0$ et $f'(0)=\frac{1}{6}$ . La courbe représentative de $f$ admet à l’origine une tangente d’équation $y=\frac{x}{6}$ . Le signe de la différence $f(x)-\frac{x}{6}$ est, au voisinage de $0$ , le signe de $\frac{17x^3}{360}$ . La courbe représentative de $f$ admet donc à l’origine une tangente d’inflexion d’équation $y=\frac{x}{6}$ .

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