[exo:CRpolaires] On veut exprimer les équations de Cauchy-Riemann avec les coordonnées polaires \(r\) et \(\theta\). Les équations de Cauchy-Riemann peuvent s’écrire sous la forme: \[\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) F = 0\] donc il s’agit d’exprimer \(\frac\partial{\partial x}\) et \(\frac\partial{\partial y}\) en fonction de \(\frac\partial{\partial r}\) et de \(\frac\partial{\partial \theta}\). Lorsque l’on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l’origine) sur lequel une détermination continue de l’argument \(\theta\) est possible (par exemple sur \(\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]\)). Montrer: \[\begin{align*} \frac\partial{\partial r} &= \cos(\theta)\frac\partial{\partial x} + \sin(\theta)\frac\partial{\partial y}\\ \frac\partial{\partial\theta} &= -r\sin(\theta)\frac\partial{\partial x} + r\cos(\theta)\frac\partial{\partial y} \end{align*}\] En déduire \(\frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\) et \(\frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\). Montrer alors: \[\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = e^{i\theta}\left(\frac\partial{\partial r} + i\frac1 r\frac\partial{\partial \theta}\right) = e^{i\theta}\frac1 r\left(r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}\right)\] En déduire qu’en coordonnées polaires les équations de Cauchy-Riemann peuvent s’écrire (en particulier) sous la forme: \[\frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}\]
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