exo7 2807

On veut exprimer les équations de Cauchy-Riemann avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$. Les équations de Cauchy-Riemann peuvent s’écrire sous la forme: $$\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) F = 0$$ donc il s’agit d’exprimer $\frac\partial{\partial x}$ et $\frac\partial{\partial y}$ en fonction de $\frac\partial{\partial r}$ et de $\frac\partial{\partial \theta}$. Lorsque l’on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l’origine) sur lequel une détermination continue de l’argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]$). Montrer: $$\begin{align*} \frac\partial{\partial r} &= \cos(\theta)\frac\partial{\partial x} + \sin(\theta)\frac\partial{\partial y}\\ \frac\partial{\partial\theta} &= -r\sin(\theta)\frac\partial{\partial x} + r\cos(\theta)\frac\partial{\partial y} \end{align*}$$ En déduire $\frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}$ et $\frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}$. Montrer alors: $$\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = e^{i\theta}\left(\frac\partial{\partial r} + i\frac1 r\frac\partial{\partial \theta}\right) = e^{i\theta}\frac1 r\left(r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}\right)$$ En déduire qu’en coordonnées polaires les équations de Cauchy-Riemann peuvent s’écrire (en particulier) sous la forme: $$\frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}$$