L3 Analyse complexe Formule de Cauchy 4 questions

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(Raffinement de Goursat.) L’objectif de cet exercice est de démontrer la version suivante du lemme de Goursat :
Lemme. (Raffinement de Goursat)
Soit UU un ouvert. Soit Δ\Delta un triangle dans UU. Soit z0∈Δz_0\in \Delta. Soit f:U→Cf:U\to \C une fonction continue sur UU holomorphe sur U∖{z0}U\setminus\{z_0\}. Alors, ∫∂Δf(z)dz=0.\int_{\partial \Delta}f(z)dz=0.

1

On traite d’abord le cas où z0z_0 est un sommet du triangle. On dénote les deux autres sommets par z1z_1 et z2z_2.

2

Montrer que pour tout z1′z_1' sur le segment [z0,z1][z_0,z_1] et pour tout z2′z_2' sur le segment [z0,z2][z_0,z_2], on a ∫∂Δz0z1z2f(z)dz=∫∂Δz0z1′z2′f(z)dz.\int_{\partial \Delta_{z_0z_1z_2}}f(z)dz=\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz.

3

Montrer que quand z1′→z0z_1'\to z_0 et z2′→z0z_2'\to z_0, alors ∫∂Δz0z1′z2′f(z)dz→0\displaystyle{\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz\to 0}.

4

Démontrer le lemme dans ce cas.

Exercice dvtf

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