(Raffinement de Goursat.)
L’objectif de cet exercice est de démontrer la version suivante du lemme de Goursat :
Lemme. (Raffinement de Goursat)
Soit \(U\) un ouvert. Soit \(\Delta\) un triangle dans \(U\). Soit \(z_0\in \Delta\). Soit \(f:U\to \C\) une fonction continue sur \(U\) holomorphe sur \(U\setminus\{z_0\}\). Alors,
\[\int_{\partial \Delta}f(z)dz=0.\]
On traite d’abord le cas où \(z_0\) est un sommet du triangle. On dénote les deux autres sommets par \(z_1\) et \(z_2\).
Montrer que pour tout \(z_1'\) sur le segment \([z_0,z_1]\) et pour tout \(z_2'\) sur le segment \([z_0,z_2]\), on a \[\int_{\partial \Delta_{z_0z_1z_2}}f(z)dz=\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz.\]
Montrer que quand \(z_1'\to z_0\) et \(z_2'\to z_0\), alors \(\displaystyle{\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz\to 0}\).
Démontrer le lemme dans ce cas.