Habituellement on trouve le développement limité d’une fonction à partir des dérivées successives. Ici on va faire l’inverse.

Calcul du dl (à un certain ordre) : \[\begin{align*} f(x) & = \frac{x^3}{1+x^6} = x^3 \frac{1}{1+x^6}\\ & = x^3 \left( 1-x^6 + x^{12} - \cdots \pm x^{6\ell} \cdots \right) \\ &= x^3 - x^9 + x^{15} -\cdots \pm x^{3+6\ell} \cdots \\ &= \sum_{\ell \ge 0} (-1)^\ell x^{3+6\ell} \\ \end{align*}\]

Il s’agit d’identifier ce développement avec la formule de Taylor : \[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots\]

Par unicité des DL, en identifiant les coefficients devant \(x^n\) on trouve : \[\begin{cases} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = (-1)^\ell & \text{ si } n = 3+6\ell \\ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = 0 & \text{ sinon.} \\ \end{cases}\]

Si \(n=3+6\ell\) (avec \(\ell\in \Nn\)) alors on peut écrire \(\ell = \frac{n-3}{6}\) et donc on peut conclure : \[\begin{cases} f^{(n)}(0) = (-1)^{\frac{n-3}{6}} \cdot n! & \text{ si } n \equiv 3 \pmod{6} \\ f^{(n)}(0) = 0 & \text{ sinon.} \\ \end{cases}\]

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