Soit \(P\) un polynôme qui ne s’annule pas sur le cercle \(\vert z\vert=1\). Montrer que le nombre de zéros de \(P\) à l’intérieur du cercle unité est \[{1\over 2\pi}\left[ \mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}\right] _0^{2\pi}\] (variation d’une détermination continue de l’argument sur le cercle unité). On utilisera le théorème de d’Alembert pour factoriser \(P\) en facteurs de degré 1, puis on considèrera l’indice de chacune des racines par rapport au cercle.
Soit \(P\) un polynôme n’ayant aucun zéro sur le cercle \(\vert z\vert=1\) et ayant exatement \(k\) racines (comptées avec multiplicité) à l’intérieur du cercle unité. Montrer que la fonction \[\theta \mapsto\Re P(e^{i\theta })\] s’annule au moins \(2k\) fois pour \(\theta \in [0,2\pi]\) (indication : étudier les zéros de la fonction \(\cos{\mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}}\), où \(\mathrm{Arg}\) est une détermination continue de l’argument).