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Soit $P$ un polynôme qui ne s’annule pas sur le cercle $\vert z\vert=1$. Montrer que le nombre de zéros de $P$ à l’intérieur du cercle unité est $${1\over 2\pi}\left[ \mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}\right] _0^{2\pi}$$ (variation d’une détermination continue de l’argument sur le cercle unité). On utilisera le théorème de d’Alembert pour factoriser $P$ en facteurs de degré 1, puis on considèrera l’indice de chacune des racines par rapport au cercle.

Soit $P$ un polynôme n’ayant aucun zéro sur le cercle $\vert z\vert=1$ et ayant exatement $k$ racines (comptées avec multiplicité) à l’intérieur du cercle unité. Montrer que la fonction $$\theta \mapsto\Re P(e^{i\theta })$$ s’annule au moins $2k$ fois pour $\theta \in [0,2\pi]$ (indication : étudier les zéros de la fonction $\cos{\mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}}$, où $\mathrm{Arg}$ est une détermination continue de l’argument).