Méthode “classique”. Supposons, par l’absurde, que $\sqrt2 \in \Qq$ alors il existe deux entiers $p,q$ tels que $\sqrt2=\frac pq$ . De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible ( $p$ et $q$ sont premiers entre eux). En élevant l’égalité au carré nous obtenons $q^2\times 2=p^2$ . Donc $p^2$ est un nombre pair, cela implique que $p$ est un nombre pair (si vous n’êtes pas convaincu écrivez la contraposée “ $p$ impair $\Rightarrow$ $p^2$ impair”). Donc $p = 2\times p'$ avec $p'\in \Nn$ , d’où $p^2= 4\times {p'}^2$ . Nous obtenons $q^2=2\times {p'}^2$ . Nous en déduisons maintenant que $q^2$ est pair et comme ci-dessus que $q$ est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car $p$ et $q$ étant tous les deux pairs la fraction $\frac pq$ n’est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Donc $\sqrt 2\notin\Qq$ .

Autre méthode. Supposons par l’absurde que $\sqrt 2 \in \Qq$ . Alors $\sqrt 2 = \frac pq$ pour deux entiers $p,q \in \Nn^*$ . Alors nous avons $q \cdot \sqrt 2 \in \Nn$ . Considérons l’ensemble suivant : $\mathcal{N} = \left\lbrace n \in \Nn^* \mid n\cdot \sqrt 2 \in \Nn \right\rbrace.$ Cet ensemble $\mathcal{N}$ est une partie de $\Nn^*$ qui est non vide car $q\in\mathcal{N}$ . On peut alors prendre le plus petit élément de $\mathcal{N}$ : $n_0 = \min \mathcal{N}$ . En particulier $n_0 \cdot \sqrt 2 \in \Nn$ . Définissons maintenant $n_1$ de la façon suivante : $n_1 = n_0 \cdot \sqrt 2 - n_0$ . Il se trouve que $n_1$ appartient aussi à $\mathcal{N}$ car d’une part $n_1 \in \Nn$ (car $n_0$ et $n_0 \cdot \sqrt{2}$ sont des entiers) et d’autre part $n_1 \cdot \sqrt 2 = n_0 \cdot 2 - n_0 \cdot \sqrt 2 \in \Nn$ . Montrons maintenant que $n_1$ est plus petit que $n_0$ . Comme $0 < \sqrt 2 -1 < 1$ alors $n_1 = n_0 (\sqrt 2 -1) < n_0$ et est non nul.

Bilan : nous avons trouvé $n_1 \in \mathcal{N}$ strictement plus petit que $n_0 = \min \mathcal{N}$ . Ceci fournit une contradiction. Conclusion : $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel.

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