Par l’absurde supposons que $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ soit un rationnel. Il s’écrit alors $\frac pq$ avec $p\geqslant 0,q>0$ des entiers. On obtient $q\ln 3=p\ln 2$ . En prenant l’exponentielle nous obtenons : $\exp (q\ln 3) = \exp(p\ln 2)$ soit $3^q=2^p$ . Si $p \ge 1$ alors $2$ divise $3^q$ donc $2$ divise $3$ , ce qui est absurde. Donc $p=0$ . Ceci nous conduit à l’égalité $3^q=1$ , donc $q=0$ . La seule solution possible est $p=0$ , $q=0$ . Ce qui contredit $q\neq 0$ . Donc $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ est irrationnel.

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