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Calculer la fonction courbure d’un cercle de rayon $r>0$.

Soit $c~:I\to \Rr^2$ une courbe plane paramétrée par la longueur d’arc. Soit $R$ la rotation de centre $0$ et d’angle $\alpha$, et $S$ la symétrie d’axe $x=y$. Déterminer la fonction courbure de $R\circ c$ et celle de $S\circ c$.

Calculer la fonction courbure de la courbe de Lissajous $\left\{\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos 3t\\ \sin 2t\end{array}\right) \end{array} \right.$

Déterminer une courbe fermée à courbure partout strictement négative.

Montrer qu’une courbe plane régulière de courbure nulle est un segment de droite.