On considère l’espace affine euclidien orienté \(\Rr^2\) muni d’un repère \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\).
Calculer la fonction courbure d’un cercle de rayon \(r>0\).
Soit \(c~:I\to \Rr^2\) une courbe plane paramétrée par la longueur d’arc. Soit \(R\) la rotation de centre \(0\) et d’angle \(\alpha\), et \(S\) la symétrie d’axe \(x=y\). Déterminer la fonction courbure de \(R\circ c\) et celle de \(S\circ c\).
Calculer la fonction courbure de la courbe de Lissajous \(\left\{\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos 3t\\ \sin 2t\end{array}\right) \end{array} \right.\)
Déterminer une courbe fermée à courbure partout strictement négative.
Montrer qu’une courbe plane régulière de courbure nulle est un segment de droite.