Il est facile de se convaincre que $(u_n)$ n’a pas de limite, mais plus délicat d’en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu’on ne sait pas qu’une suite $(u_n)$ converge, on ne peut pas écrire $\lim u_n$ , c’est un nombre qui n’est pas défini. Par exemple l’égalité $\lim_{n \rightarrow \infty}\: (-1)^n+1/n=\lim_{n\rightarrow \infty} (-1)^n$ n’a pas de sens. Par contre voilà ce qu’on peut dire : Comme la suite $1/n$ tend vers $0$ quand $n \rightarrow \infty$ , la suite $u_n$ est convergente si et seulement si la suite $(-1)^n$ l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant

Théorème : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergeant vers deux limites $\ell$ et $\ell'$ . Alors la suite $(w_n)$ définie par $w_n=u_n+v_n$ est convergente (on peut donc parler de sa limite) et $\lim w_n=\ell+\ell'$ .

De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple, $(-1)^n/n$ est une suite qui converge vers $0$ mais qui n’est ni croissante, ni décroissante.

Voici maintenant un exemple de rédaction de l’exercice. On veut montrer que la suite $(u_n)$ n’est pas convergente. Supposons donc par l’absurde qu’elle soit convergente et notons $\ell=\lim_{n\rightarrow\infty} u_n$ . (Cette expression a un sens puisqu’on suppose que $u_n$ converge).

Rappel. Une sous-suite de $(u_n)$ (on dit aussi suite extraite de $(u_n)$ ) est une suite $(v_n)$ de la forme $v_n=u_{\phi(n)}$ où $\phi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$ . Cette fonction $\phi$ correspond “au choix des indices qu’on veut garder” dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite $(u_n)$ que les termes pour lesquels $n$ est un multiple de trois, on pourra poser $\phi(n)=3n$ , c’est à dire $v_n=u_{3n}$ .

Considérons maintenant les sous-suites $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$ de $(u_n)$ . On a que $v_n=1+1/2n\rightarrow1$ et que $w_n=-1+1/(2n+1)\rightarrow -1$ . Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d’une suite convergente:

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers la limite $\ell$ (le théorème est encore vrai si $\ell=+\infty$ ou $\ell=-\infty$ ). Alors, toute sous-suite $(v_n)$ de $(u_n)$ a pour limite $\ell$ .

Par conséquent, ici, on a que $\lim v_n=\ell$ et $\lim w_n=\ell$ donc $\ell=1$ et $\ell=-1$ ce qui est une contradiction. L’hypothèse disant que $(u_n)$ était convergente est donc fausse. Donc $(u_n)$ ne converge pas.

exo7 507