Il est facile de se convaincre que \((u_n)\) n’a pas de limite, mais plus délicat d’en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu’on ne sait pas qu’une suite \((u_n)\) converge, on ne peut pas écrire \(\lim u_n\), c’est un nombre qui n’est pas défini. Par exemple l’égalité \[\lim_{n \rightarrow \infty}\: (-1)^n+1/n=\lim_{n\rightarrow \infty} (-1)^n\] n’a pas de sens. Par contre voilà ce qu’on peut dire : Comme la suite \(1/n\) tend vers \(0\) quand \(n \rightarrow \infty\), la suite \(u_n\) est convergente si et seulement si la suite \((-1)^n\) l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant

Théorème : Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites convergeant vers deux limites \(\ell\) et \(\ell'\). Alors la suite \((w_n)\) définie par \(w_n=u_n+v_n\) est convergente (on peut donc parler de sa limite) et \(\lim w_n=\ell+\ell'\).

De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple, \((-1)^n/n\) est une suite qui converge vers \(0\) mais qui n’est ni croissante, ni décroissante.

Voici maintenant un exemple de rédaction de l’exercice. On veut montrer que la suite \((u_n)\) n’est pas convergente. Supposons donc par l’absurde qu’elle soit convergente et notons \(\ell=\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\). (Cette expression a un sens puisqu’on suppose que \(u_n\) converge).

Rappel. Une sous-suite de \((u_n)\) (on dit aussi suite extraite de \((u_n)\)) est une suite \((v_n)\) de la forme \(v_n=u_{\phi(n)}\) où \(\phi\) est une application strictement croissante de \(\N\) dans \(\N\). Cette fonction \(\phi\) correspond “au choix des indices qu’on veut garder” dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite \((u_n)\) que les termes pour lesquels \(n\) est un multiple de trois, on pourra poser \(\phi(n)=3n\), c’est à dire \(v_n=u_{3n}\).

Considérons maintenant les sous-suites \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n=u_{2n+1}\) de \((u_n)\). On a que \(v_n=1+1/2n\rightarrow1\) et que \(w_n=-1+1/(2n+1)\rightarrow -1\). Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d’une suite convergente:

Théorème : Soit \((u_n)\) une suite convergeant vers la limite \(\ell\) (le théorème est encore vrai si \(\ell=+\infty\) ou \(\ell=-\infty\)). Alors, toute sous-suite \((v_n)\) de \((u_n)\) a pour limite \(\ell\).

Par conséquent, ici, on a que \(\lim v_n=\ell\) et \(\lim w_n=\ell\) donc \(\ell=1\) et \(\ell=-1\) ce qui est une contradiction. L’hypothèse disant que \((u_n)\) était convergente est donc fausse. Donc \((u_n)\) ne converge pas.

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