On a $H_1\subset H_1+H_2$ et donc $\mbox{dim }(H_1+H_2)\geq n-1$ ou encore $\mbox{dim }(H_1+H_2)\in\{n-1,n\}$ . Donc

$\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=\mbox{dim }H_1+\mbox{dim }H_2-\mbox{dim }(H_1+H_2)= \left\{ \begin{array}{l} (n-1)+(n-1)-(n-1)=n-1\\ \quad\mbox{ou}\\ (n-1)+(n-1)-n=n-2 \end{array} \right..$ Maintenant, si $\mbox{dim }(H_1+H_2)=n-1=\mbox{dim }H_1=\mbox{dim }H_2$ , alors $H_1=H_1+H_2=H_2$ et donc en particulier, $H_1=H_2$ . Réciproquement, si $H_1=H_2$ alors $H_1+H_2=H_1$ et $\mbox{dim }(H_1+H_2)=n-1$ . En résumé, si $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans distincts, $\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=n-2$ et bien sûr, si $H_1=H_2$ , alors $\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=n-1$ . Si $n=2$ , les hyperplans sont des droites vectorielles et l’intersection de deux droites vectorielles distinctes du plan vectoriel est de dimension $0$ , c’est-à-dire réduite au vecteur nul. Si $n=3$ , les hyperplans sont des plans vectoriels et l’intersection de deux plans vectoriels distincts de l’espace de dimension $3$ est une droite vectorielle.

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