Si $D$ est inversible, un calcul par blocs fournit

$\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ CD-DC&I \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ 0&I \end{array} \right)$ (car $C$ et $D$ commutent)

et donc, puisque

$\begin{align*}\ensuremath \text{det}\left(\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)\right)&=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\text{det}\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\times\text{det}D\times\text{det}D^{-1}\\ &=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right) \end{align*}$

et que $\text{det}\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ 0&I \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)$ , on a bien $\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)$ (si $C$ et $D$ commutent).

Si $D$ n’est pas inversible, $\text{det}(D-xI)$ est un polynôme en $x$ de degré $n$ et donc ne s’annule qu’un nombre fini de fois. Par suite, la matrice $D-xI$ est inversible sauf peut-être pour un nombre fini de valeurs de $x$ . D’autre part, pour toute valeur de $x$ , les matrices $C$ et $D-xI$ commutent et d’après ce qui précède, pour toutes valeurs de $x$ sauf peut-être pour un nombre fini, on a

$\text{det}\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(A(D-xI)-BC)$ .

Ces deux expressions sont encore des polynômes en $x$ qui coïncident donc en une infinité de valeurs de $x$ et sont donc égaux. Ces deux polynômes prennent en particulier la même valeur en $0$ et on a montré que

si $C$ et $D$ commutent, $\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)$ .

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