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Les polynômes symétriques élémentaires en $n$ indéterminées sont par définition $\begin{aligned} s_1(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1+t_2+\cdots+t_n\\ s_2(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1t_2+t_1t_3+\cdots+t_2t_3+t_2t_4 +\cdots +\cdots t_{n-1}t_n\\ \vdots\\ s_n(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1t_2\cdots t_n. \end{aligned}$

Soit $F(X)=a(X-t_1)(X-t_2)\cdots(X-t_n)$ . Développer $F(X)$ en puissances de $X$ .

Ecrire $t_1^3+t_2^3$ comme polynôme à coefficients entiers de $s_1$ , $s_2$ .

Ecrire $t_1^4+t_2^4$ comme polynôme à coefficients entiers de $s_1$ , $s_2$ .

Ecrire $t_1^3+t_2^3+t_3^3$ comme polynôme à coefficients entiers de $s_1$ , $s_2$ , $s_3$ .

Ecrire $f$ $f(t_1,t_2,t_3)=t_1^2t_2+t_1^2t_3+t_2^2t_1+t_2^2t_3+t_3^2t_1+t_3^2t_2.$ comme polynôme à coefficients entiers en les polynômes symétriques élémentaires.

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