Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition \[\begin{aligned} s_1(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1+t_2+\cdots+t_n\\ s_2(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1t_2+t_1t_3+\cdots+t_2t_3+t_2t_4 +\cdots +\cdots t_{n-1}t_n\\ \vdots\\ s_n(t_1,t_2,\cdots,t_n)&:=&t_1t_2\cdots t_n.\end{aligned}\]
Soit \(F(X)=a(X-t_1)(X-t_2)\cdots(X-t_n)\). Développer \(F(X)\) en puissances de \(X\).
Ecrire \(t_1^3+t_2^3\) comme polynôme à coefficients entiers de \(s_1\), \(s_2\).
Ecrire \(t_1^4+t_2^4\) comme polynôme à coefficients entiers de \(s_1\), \(s_2\).
Ecrire \(t_1^3+t_2^3+t_3^3\) comme polynôme à coefficients entiers de \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\).
Ecrire \(f\) \[f(t_1,t_2,t_3)=t_1^2t_2+t_1^2t_3+t_2^2t_1+t_2^2t_3+t_3^2t_1+t_3^2t_2.\] comme polynôme à coefficients entiers en les polynômes symétriques élémentaires.