\(P'=a\sum_{k=1}^{n}\prod_{j\neq k}(X-x_j)=\sum_{k=1}^{n}\frac{P}{X-x_k}\), et donc

\[\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-x_k}.\]

Regroupons maintenant les pôles identiques, ou encore posons \(P=a(X-z_1)^{\alpha_1}...(X-z_k)^{\alpha_k}\) où cette fois-ci les \(z_j\) sont deux à deux distincts. La formule ci-dessus s’écrit alors

\[\frac{P'}{P}=\sum_{j=1}^{k}\frac{\alpha_j}{X-z_j}\quad(*).\]

Déterminons les polynômes divisibles par leur dérivée. Soit \(P\) un tel polynôme. Nécessairement \(\mbox{deg}P\ge1\) puis, il existe deux complexes \(a\) et \(b\), \(a\neq0\) tel que \(P=(aX+b)P'\) ou encore \(\frac{P'}{P}=\frac{1}{aX+b}\). \((*)\) montre que \(P\) a une et une seule racine. Par suite, \(P\) est de la forme \(\lambda(X-a)^n\), \(\lambda\neq0\), \(n\geq1\) et \(a\) quelconque.

Réciproquement, on a dans ce cas \(P=\frac{1}{n}(X-a)n(X-a)^{n-1}=(\frac{1}{n}X-\frac{a}{n})P'\) et \(P'\) divise effectivement \(P\).

Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme \(\lambda(X-a)^n\), \(\lambda\in\Cc^*\), \(n\in\Nn^*\) et \(a\in\Cc\).

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