$P'=a\sum_{k=1}^{n}\prod_{j\neq k}(X-x_j)=\sum_{k=1}^{n}\frac{P}{X-x_k}$ , et donc

$\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-x_k}.$

Regroupons maintenant les pôles identiques, ou encore posons $P=a(X-z_1)^{\alpha_1}...(X-z_k)^{\alpha_k}$ où cette fois-ci les $z_j$ sont deux à deux distincts. La formule ci-dessus s’écrit alors

$\frac{P'}{P}=\sum_{j=1}^{k}\frac{\alpha_j}{X-z_j}\quad(*).$

Déterminons les polynômes divisibles par leur dérivée. Soit $P$ un tel polynôme. Nécessairement $\mbox{deg}P\ge1$ puis, il existe deux complexes $a$ et $b$ , $a\neq0$ tel que $P=(aX+b)P'$ ou encore $\frac{P'}{P}=\frac{1}{aX+b}$ . $(*)$ montre que $P$ a une et une seule racine. Par suite, $P$ est de la forme $\lambda(X-a)^n$ , $\lambda\neq0$ , $n\geq1$ et $a$ quelconque.

Réciproquement, on a dans ce cas $P=\frac{1}{n}(X-a)n(X-a)^{n-1}=(\frac{1}{n}X-\frac{a}{n})P'$ et $P'$ divise effectivement $P$ .

Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme $\lambda(X-a)^n$ , $\lambda\in\Cc^*$ , $n\in\Nn^*$ et $a\in\Cc$ .

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