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Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose \(P_k = X^k(1-X)^{n-k}\). Démontrer que \({\cal B} = (P_0,\dots,P_n)\) est une base de \(\R_n[X]\). Calculer les composantes dans \(\cal B\) de \(\frac{d^n}{d x^n} \bigl(X^n(1-X)^n\bigr)\). En déduire la valeur de \(\sum_{k=0}^n (C_n^k)^2\).