L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3537

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ .

Soit $\lambda \in \C$ une valeur propre non nulle de $A\overline A$ , et $X$ un vecteur propre associé. Montrer que $A\overline X$ est aussi vecteur propre de $A\overline A$ .

Lorsque $\lambda \notin \R^+$ , montrer que $X$ et $A\overline X$ sont linéairement indépendants.

En déduire que $\det(I + A\overline A ) \in \R^+$ .