Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
1
Soit \(\lambda \in \C\) une valeur propre non nulle de \(A\overline A\), et \(X\) un vecteur propre associé. Montrer que \(A\overline X\) est aussi vecteur propre de \(A\overline A\).
2
Lorsque \(\lambda \notin \R^+\), montrer que \(X\) et \(A\overline X\) sont linéairement indépendants.
3
En déduire que \(\det(I + A\overline A ) \in \R^+\).