1
Soient \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(\Vert . \Vert\) la norme associée ; \(n \in \N ^* ,\) et \(v_1, \dots, v_n \in E .\) Montrer l’inégalité : \(\displaystyle\Vert \sum_{i=1}^n v_i\Vert^2 \leq\ n\sum_{i=1}^n \Vert v_i\Vert^2 .\)
2
Soient \(n \in \N ^* ,\) \(x_1, \dots, x_n \in \R _+^*\) tels que \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i = 1} .\) Montrer que \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ x_i} \geq n^2} .\) Etudier le cas d’égalité.