Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(p\) endomorphismes autoadjoints \(u_1,\dots,u_p\). Soit \(q_i\) la forme quadratique associée à \(u_i\) (\(q_i(x) = (u_i(x)\mid x)\)). On suppose : \[\forall\ x\in E,\ q_1(x) + \dots + q_p(x) = \|x\|^2\quad\text{et}\quad\mathrm{rg}(u_1)+\dots+\mathrm{rg}(u_p) = n.\]
1
Montrer que \(u_1+\dots+u_p = \mathrm{id}_E\).
2
Montrer que \(\Im(u_1)\oplus\dots\oplus\Im(u_p) = E\).
3
Montrer que les \(u_i\) sont en fait des projecteurs orthogonaux et que la somme précédente est orthogonale.