Soit \((x,y,z,t)\in\Rr^4\).

\[\begin{align*} (x,y,z,t)\in V\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ y=2z \end{array} \right.\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4z\\ y=2z \end{array} \right. . \end{align*}\]

Donc, \(V=\{(4z,2z,z,t),\;(z,t)\in\Rr^2\}=\mbox{Vect}(e_1,e_2)\) où \(e_1=(4,2,1,0)\) et \(e_2=(0,0,0,1)\). Montrons alors que \((e_1,e_2)\) est libre. Soit \((z,t)\in\Rr^2\).

\[ze_1+te_2=0\Rightarrow(4z,2z,z,t)=(0,0,0,0)\Rightarrow z=t=0.\]

Donc, \((e_1,e_2)\) est une base de \(V\).

Pour \((x,y,z,t)\in\Rr^4\), \((x,y,z,t)\in W\Leftrightarrow t=x-y+z\). Donc, \(W=\{(x,y,z,x-y+z),\;(x,y,z)\in\Rr^3\}=\mbox{Vect}(e_1',e_2',e_3')\) où \(e_1'=(1,0,0,1)\), \(e_2'=(0,1,0,-1)\) et \(e_3'=(0,0,1,1)\).

Montrons alors que \((e_1',e_2',e_3')\) est libre. Soit \((x,y,z)\in\Rr^3\).

\[xe_1'+ye_2'+ze_3'=0\Rightarrow(x,y,z,x-y+z)=(0,0,0,0)\Rightarrow x=y=z=0.\]

Donc, \((e_1',e_2',e_3')\) est une base de \(W\). Soit \((x,y,z,t)\in\Rr^4\).

\[(x,y,z,t)\in V\cap W\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ y=2z\\ x-y+z-t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4z\\ y=2z\\ t=3z \end{array} \right..\]

Donc, \(V\cap W=\{(4z,2z,z,3z),\;z\in\Rr\}=\mbox{Vect}(e)\) où \(e=(4,2,1,3)\). De plus, \(e\) étant non nul, la famille \((e)\) est libre et est donc une base de \(V\cap W\).

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