Soit $(x,y,z,t)\in\Rr^4$ .

$\begin{align*} (x,y,z,t)\in V\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ y=2z \end{array} \right.\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4z\\ y=2z \end{array} \right. . \end{align*}$

Donc, $V=\{(4z,2z,z,t),\;(z,t)\in\Rr^2\}=\mbox{Vect}(e_1,e_2)$ où $e_1=(4,2,1,0)$ et $e_2=(0,0,0,1)$ . Montrons alors que $(e_1,e_2)$ est libre. Soit $(z,t)\in\Rr^2$ .

$ze_1+te_2=0\Rightarrow(4z,2z,z,t)=(0,0,0,0)\Rightarrow z=t=0.$

Donc, $(e_1,e_2)$ est une base de $V$ .

Pour $(x,y,z,t)\in\Rr^4$ , $(x,y,z,t)\in W\Leftrightarrow t=x-y+z$ . Donc, $W=\{(x,y,z,x-y+z),\;(x,y,z)\in\Rr^3\}=\mbox{Vect}(e_1',e_2',e_3')$ où $e_1'=(1,0,0,1)$ , $e_2'=(0,1,0,-1)$ et $e_3'=(0,0,1,1)$ .

Montrons alors que $(e_1',e_2',e_3')$ est libre. Soit $(x,y,z)\in\Rr^3$ .

$xe_1'+ye_2'+ze_3'=0\Rightarrow(x,y,z,x-y+z)=(0,0,0,0)\Rightarrow x=y=z=0.$

Donc, $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $W$ . Soit $(x,y,z,t)\in\Rr^4$ .

$(x,y,z,t)\in V\cap W\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ y=2z\\ x-y+z-t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4z\\ y=2z\\ t=3z \end{array} \right..$

Donc, $V\cap W=\{(4z,2z,z,3z),\;z\in\Rr\}=\mbox{Vect}(e)$ où $e=(4,2,1,3)$ . De plus, $e$ étant non nul, la famille $(e)$ est libre et est donc une base de $V\cap W$ .

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